Résumé. Pour deux classes d'algèbres A et B, on appelle point critique de A et B le plus petit cardinal d'un demi-treillis qui est le demi-treillis des congruences compactes d'un membre de A mais d'aucun membre de B. On montre que le point critique de deux variétés chacune engendrée par un treillis fini est forcément soit fini soit de la forme \aleph_n, pour un entier naturel n. Des exemples de points critiques ont étés calculés, avec des méthodes topologiques, par Miroslav Ploscica. Nos méthodes permettent d'évaluer des points critiques inaccessibles, à l'heure actuelle, par ces méthodes topologiques.
Résumé. Le but de cet exposé est de convaincre que les notions et théorèmes abordés dans le premier exposé sont, en fait, catégoriques, ce qui permet de généraliser à beaucoup de situations (par exemple, les quasi-variétés). Les relèvements de diagrammes infinis sont associés à des grands cardinaux, plus forts que 0# mais moins forts qu'un cardinal de Ramsey, apparentés aux "cardinaux d'Erdös". Dans les deux cas, on obtiendra des énoncés du genre suivant: à partir du comportement de certaines classes (de treillis ou demi-treillis) sur des cardinaux "inconcevables" (genre \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, ou même des grands cardinaux), on obtiendra des énoncés "finis", dans certains cas purement combinatoires.
Résumé. Wikipedia.
Résumé. Un domaine condorcéen est un ensemble d'ordres totaux où la règle majoritaire (de Condorcet) s'applique sans "effet Condorcet" : la relation majoritaire de tout profil de préférences choisies dans cet ensemble n'admet aucun circuit. Il avait été remarqué dès 1952 (par Guilbaud) que le premier domaine condorcéen obtenu par Black (1948) avait une structure de treillis distributif. La recherche -entre autres- de domaines condorcéens de taille maximum a conduit à obtenir bien d'autres domaines condorcéens, mais ce n'est que récemment qu'il a été montré que la plupart d'entre eux sont des treillis distributifs; Ce sont en fait, des sous-treillis distributifs couvrants du treillis permutoèdre et on les obtient à partir d'une chaîne maximale de ce treillis. On décrit cette classe de domaines condorcéens -notamment trois types particuliers importants- et on signale plusieurs questions ouvertes.
Résumé. Le problème de l'agrégation d'un profil de systèmes de fermeture en un unique système consensus a des applications dans des domaines comme le choix social, l'analyse de données, ou la classification. Nous présentons d'abord des résultats directement obtenus dans le cadre de la théorie des treillis. Nous remarquons certaines limites de cette approche, et en développons une autre basée sur les implications, ou sur les ordres d'emboîtement qui leur sont associés. Un résultat d'unicité généralise largement un fait précédemment reconnu à propos de reconstruction phylogénétique, et débouche sur l'usage des "motifs fréquents" des bases de données.
Résumé. Si L est un treillis (fini) alors l'ensemble des recouvrements de L, noté C(L), est ordonné par la relation de transposition. Nous allons discuter les propositions suivantes. (i) Si L est un treillis demi-distributif, alors C(L) est union disjointe de treillis demi-distributifs. (ii) Si L est un treille borné, alors C(L) est union disjointe de treillis bornés. Nous allons calculer C(L) pour les permutohedra et les associahedra.
Résumé. On introduit la question de la description d'une liste de sup-treillis attachée à une chaîne dénombrable C, de sorte qu'un treillis algébrique ne contienne pas de chaîne de type C si et seulement si le sup-treillis de ses éléments compacts ne contienne ni chaîne de type C ni sup-treillis isomorphe a un élément de la liste. On donne plusieurs exemples, ainsi si C est la chaîne des entiers négatifs, la liste a deux éléments qu'on décrira. Ce travail a été fait en collaboration avec Ilham Chakir de l'Université de Settat, Maroc.
Résumé. Les systèmes d'implication sont un outil efficaces pour manipuler des systèmes de fermeture, et sont utilisés sous des terminologies variées. Nous montrons l'égalité entre 5 systèmes d'implication particuliers issus de différents travaux, et satisfaisants des propriétés variées. Ses trois principales propriétés étant d'être à la fois direct, minimal et canonique, ce système d'implication sera nommé base canonique directe, Nous montrerons également le lien entre la base canonique directe et les clauses de Horn, pour conclure par la necessité de comparer plus précisément des travaux issus de domaines différents, avec des terminologies différentes.
Aspects algorithmiques relatifs à la base canonique
directe.
Résumé. La base canonique directe, de par ses propriétés intéressantes (directe, minimale et canonique), est un outil efficaces pour manipuler des systèmes d'implication, et des systèmes de fermeture. Nous ferons le point sur le jeu algorithmique sous-jacent à son utilisation, et notament sur un algorithme incrémental de génération qui, bien qu'exponentiel en théorie, fournit d'excellents résultats en pratique. Un lien sera fait entre cette génération, et des problèmes équivalents connus sous des terminologies différentes.
Résumé. Given a closure space, some elementary properties of its lattice of closed subsets (or, closure lattice in other words) are discussed. In particular, those which can be expressed by identities are investigated for several closure spaces of a paricular type.
Résumé. A lattice is called a Q-lattice if it is isomorphic to the lattice of subquasivarieties of some quasivariety. The well-known Birkhoff--Mal'tsev problem asks for a description of the class of all Q-lattices. A problem which is closely connected with the Birkhoff--Mal'tsev problem is to describe a particular Q-lattice, say the lattice of subquasivarieties of some interesting class of structures. We consider (a) known approaches to explicit description of such lattices; (b) a formalisation of the notion of a "highly complicated Q-lattice" and methods for proving that a Q-lattice is "too complicated to be explicitly described".
Résumé. An interval doubling is a constructive operation which applies on a poset P and an interval I of P and constructs a new bigger poset P = P[I] by replacing in P the interval I with its direct product with the two-element lattice. The main contribution of this paper is to prove that finite Coxeter lattices are bounded, i.e., that they can be constructed starting with the two-element lattice by a finite series of interval doublings. The boundedness of finite Coxeter lattices strengthens their algebraic property of semidistributivity. It also brings to light a relation between the interval doubling construction and the reflections of Coxeter groups. Our approach to the question is somewhat indirect. We first define a new class HH of lattices and prove that every lattice of HH is bounded. We then show that Coxeter lattices are in HH and the theorem follows. Another result says that, given a Coxeter lattice LW and a parabolic subgroup WH of the finite Coxeter group W, we can construct LW starting from WH by a series of interval doublings. For instance the lattice, associated with An , of all the permutations on n + 1 elements is obtained from A(n-1) by a series of interval doublings. The same holds for the lattices associated with the other infiite families of Coxeter groups Bn, Dn and I2(n).
Résumé. A tout système (W,S) de Coxeter on peut associer son "arrangement de lignes de réflections". De manière informelle, une ligne de réflections d'un système (W,S) de Coxeter est un ensemble de réflections de W engendré par conjugaison à partir de deux réflections initiales particulières. Nous définirons formellement ces lignes de réflections, ainsi que la notion d'arrangement qui en découle. Nous verrons ensuite un certain nombre de propriétés de ces arrangements, notamment qu'ils sont un codage particulièrement riche et économique du groupe W et de l'ordre faible défini sur W. Toutes ces notions sont purement combinatoires, sans dimension géométrique (bien que des aspects géométriques soient sous-jacents).
Résumé. We study the stability of Sand Piles Model by simulating mathematically it as a discrete dynamical system where the evolution rule consists of the adding one grain on a random column and an avalanche to reach a stable configuration. We prove that the infinite set of all stable configurations have a lattice structure which is a sublattice of Young lattice. Moreover the formulae for the real time to reach a stable configuration are given. At the end, we construct a generating tree of this model and show its strongtly recursive structure.
Soit E un espace de points (E = R^n, Z^n ou une partie bornéee de R^n ou Z^n). Nous nous intéressons aux opérations morphologiques sur les partitions de E, c.-à-d. aux opérations ayant certaines propriétés dans le treillis des partitions de E, qui sont issues d'opérations ensemblistes ayant ces mêmes propriétés dans le treillis des parties de E. Nous considérons en particulier les fermetures, ouvertures (opérateurs de noyau) et adjonctions (résiduations). Nous donnons le lien entre les ouvertures sur les partitions et les classes de connexité. Pour des raisons tant théoriques que pratiques, il est nécessaire d'étendre le cadre aux partitions partielles (dont les classes ne recouvrent pas nécessairement E).