L'unité d'enseignement ENSMI1U3
« Géométrie et arithmétique 1 »

Compléter les connaissances sur les vecteurs et sur les nombres complexes. Connaître les différentes représentations des droites et des plans. Donner des notions sur l'arithmétique et les racines des polynômes. Apprendre à faire des démonstrations.

• Calcul vectoriel et géométrie (3 semaines) : Vecteurs du plan R^2 et de l'espace R^3. Produit scalaire, déterminant de deux vecteurs de R^2 et produit vectoriel de deux vecteurs de R^3. Bases et repères (orthonormés, directs) de R^2 et de R^3. Système d'équations paramétriques pour une droite ou un plan. Equation cartésienne d'une droite de R^2 ou d'un plan de R^3, et système d'équations cartésiennes pour une droite de R^3.
• Nombres complexes et géométrie (4 semaines) : Nombres complexes, opérations, module et argument d’un nombre complexe, écriture trigonométrique, inégalité triangulaire, image d’un nombre complexe dans le plan, affixe d’un point du plan. Lien avec les vecteurs de R^2. Notation exponentielle e^it = cos t + i sin t et définition de e^z = e^x e^iy pour z = x + iy. Somme d’une suite géométrique, formule du binôme de Newton. Racines n-ièmes de l’unité et résolution de z^n = a. Résolution d’une équation du second degré à coefficients dans C. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane : problèmes d’angles et de distances, transformations du plan : translations, homothéties, symétries, rotations.
• Arithmétique (3 semaines) : Arithmétique dans Z (division euclidienne, multiples, diviseurs, nombres premiers, PPCM, PGCD). Nombres premiers entre eux, lemme de Gauss, et décomposition en facteurs premiers. Théorème de Bezout et algorithme d’Euclide.
• Polynômes (2 semaines) : Arithmétique des polynômes. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bezout et algorithme d’Euclide. Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Nombre de racines d'un polynôme de degré n à coefficients dans R ou C.

Aucun

1ere session : NF= 1/4(P1+P2+E+CC) -- 2nde session NF= E