L’aléatoire, pour quoi faire?

Le module random de Python fournit des nombres aléatoires.

Pour quoi faire?

• Simuler des expériences aléatoires.

• Obtenir rapidement des résultats approchés à des problèmes difficiles.

• Obtenir des résultats exacts, peut-être plus rapidement.

Aléatoire ou pas?

Quand on fait de l’algorithmique avec utilisation de l’aléatoire, on suppose toujours qu’on a un générateur de nombres aléatoires, au minimum capable de choisir un entier uniformément dans un certain intervalle.

• En général les implémentations utilisent des générateurs pseudo-aléatoires, processus déterministes mais avec de bonnes propriétés.

• Quand on veut réellement de l’aléatoire, on peut utiliser des dispositifs physiques qui donnent un hasard de meilleure qualité…

Tout cela n’est pas le sujet de cette séance!

Principe

Un algorithme de Las Vegas est un algorithme qui

• utilise de l’aléatoire dans son exécution,

• donne toujours un résultat correct,

• a un temps d’exécution qui dépend des tirages aléatoires, dont on peut étudier la distribution de probabilité.

L’intérêt est d’utiliser l’aléatoire pour faire des choix qui seraient coûteux à faire de façon exacte.

Tri rapide

Le célèbre algorithme Quicksort:

def tri_rapide(T):
    if len(T) <= 1:
        return
    i = choisir_indice(T)   # à préciser…
    p = partitionner(T, i)
    tri_rapide(T[:p])
    tri_rapide(T[p+1:])

où partitionner(T,i) déplace les éléments de T de sorte qu’il y ait d’abord les valeurs inférieures à T[i], puis T[i] puis les valeurs supérieures, et renvoie la position où s’est retrouvé T[i], en temps linéaire.

• Si le choix de i est mauvais, tri_rapide peut faire \(n^2\) comparaisons (ex: prendre toujours le premier indice, si T est déjà trié au départ)

Tri rapide avec pivot aléatoire

L’algorithme Quicksort avec choix aléatoire du pivot:

def tri_rapide(T):
    if len(T) <= 1:
        return
    i = randrange(len(T))    # uniforme dans un intervalle
    p = partitionner(T, i)
    tri_rapide(T[:p])
    tri_rapide(T[p+1:])

Quel temps d’exécution?

• Intuitivement: l’espérance de p si i est choisi aléatoirement est la moitié de la longueur de T.
• On peut démontrer que l’espérance du nombre de comparaisons effectué est de l’ordre de \(n \log n\).

Principe

Un algorithme de Monte-Carlo est un algorithme qui

• utilise de l’aléatoire dans son exécution,

• a un temps d’exécution déterministe.

En général,

• le résultat rendu est potentiellement incorrect,

• le taux d’erreur est quantifiable précisément.

Calcul de \(\pi\)

On tire des points dans le carré de côté 1 de façon uniforme et on détermine s’ils sont ou non à distance 1 de l’origine:

Surface du quart de disque: \(\pi/4\)

Calcul de \(\pi\): le programme

from random import *
def pi_monte_carlo(nb_exp):
    succes = 0
    for i in range(nb_exp):
        x = random()    # flottants choisis uniformément
        y = random()    # dans l'intervalle [0, 1[
        if x * x + y * y <= 1:
            succes += 1
    return 4 * succes / nb_exp

• Le temps d’exécution est proportionnel à nb_exp.
• Si random est uniforme, l’espérance de pi_monte_carlo(n) est \(\pi\).
• Quelle distribution de probabilité pour la valeur de pi_monte_carlo(n)?

Tests de primalité

Savoir tester si un nombre entier est premier, c’est utile (par exemple: création de clés de chiffrement en cryptographie) mais pas facile à faire efficacement. Les méthodes probabilistes sont très utilisées pour cela.

Théorème (Fermat). Si \(p\) est un nombre premier alors pour tout \(a\) tel que \(1 \leq a < p\), on a \(a^{p-1} \equiv 1 \bmod p\).

def test_primalite_fermat(N):
    a = randrange(1, N)
    return a ** (N-1) % N == 1

Si la fonction renvoie False alors N est assurément composé. Si elle renvoie True, alors il est peut-être premier…

Tests de primalité: Miller-Rabin

Théorème. Un entier \(p\) est premier si et seulement si les solutions de l’équation \(x^2 \equiv 1 \bmod p\) sont exactement \(1\) et \(-1\).

def test_primalite_miller_rabin(n):
    s, q = decompose(n - 1)   # pour avoir n - 1 = 2**s * q
    a = randrange(1, n)
    if a ** q % n == 1:
        return True
    for i in range(s):
        if a ** (2**i * q) % n == n - 1:
            return True
    return False

• Si la réponse est False, alors n est composé.
• Si c’est True, la probabilité qu’il soit composé est majorée par \(1/4\).
• En répétant le test \(k\) fois, elle est majorée par \(1/4^k\).

Calcul de coupe minimale

À vous de jouer pour l’algorithme de Karger!