L'Approche par Invariance Positive en Commande de Systèmes Dynamiques

Les fondements de l'approche

La propriété d'invariance positive d'un domaine relativement aux trajectoires d'un système dynamique est une propriété très générale, qui peut s'appliquer en particulier à des domaines d'états continus ou discrets, en temps continu ou en temps discret. Par définition, un domaine d'états West positivement invariant pour le système (S) si toute trajectoire d''état de (S) ayant comme état initial un point de West entièrement contenue dans W.

Le contexte d'application le plus connu de cette propriété est celui des systèmes linéaires classiques, sur , pour lesquels l'approche géométrique "à la Wonham" a été développée avec comme domaines d'invariance privilégiés les sous-espaces vectoriels. Nos travaux se situent eux-aussi principalement dans le cadre des systèmes linéaires sur l'espace d'état , mais ils concernent essentiellement des domaines d'invariance fermés : cônes polyédraux, ellipsoïdes, polyèdres.

Lorsque les domaines d'invariance considérés sont fermés, bornés et contiennent l'origine de l'espace d'état, la propriété d'invariance positive assure la stabilité du système au sens de Lyapunov.

Les liens entre la théorie de l'invariance positive et la théorie de la stabilité ont été étudiés par de nombreux auteurs, parmi lesquels C. Burgat, G. Bitsoris et J.C. Hennet [HB 91], [Hen 95].

Si le domaine W contient des directions infinies, une condition nécessaire de son invariance positive est l'invariance du sous-espace vectoriel généré par ses directions infinies. Dans ce cas , le problème d'invariance positive de Wpeut être décomposé en un problème géométrique d'invariance de sous-espace vectoriel et un problème de stabilité en projection sur le sous-espace quotient.

Pour les sytèmes en temps discret, la propriété d'invariance positive peut être représentée par la condition d'inclusion : , où par définition  est l'image à un pas du domaine Wpour le système (S). Dans le cas où (S) est un système linéaire et Wun polyèdre, le domaine  est lui aussi polyédral. Il suffit alors d''appliquer le Lemme de Farkas étendu (J.C. Hennet [Hen 89]) pour traduire .la condition d'inclusion sous forme de relations algébriques. Ainsi, l'invariance positive de domaines polyédraux a été caractérisée par des conditions algébriques simples : équation matricielle linéaire et inégalité vectorielle. Ce résultat, initialement obtenu par C. Burgat et G. Bitsoris dans le cadre plus restrictif des domaines polyédraux bornés, a ensuite été étendu aux systèmes linéaires continus (M.Vassilaki, G.Bitsoris 1989; E.B.Castelan, J.C. Hennet [CH 93]).
 
 

L'approche par programmation linéaire en commande sous contraintes

Une conséquence importante de ces résultats est la possibilité de traiter des problèmes de commande par retour d''état linéaire pour des problèmes de grande dimension, en utilisant les algorithmes numériquement très efficaces de la programmation linéaire, particulièrement le simplexe. Cette méthode a permis en outre d'intégrer directement les contraintes du système dans la synthèse du régulateur. En effet, il suffit d'imposer à la fois en boucle fermée l'invariance d'un domaine Wet son inclusion dans le domaine des contraintes pour assurer le respect des contraintes sur la trajectoire du système (M.Vassilaki, J.C.Hennet, G.Bitsoris [VHB 88]). L'application de cette méthode est dite directe lorsque le domaine des contraintes peut être choisi comme domaine W candidat à l''invariance en boucle fermée. Elle est indirecte lorsque le domaine des contraintes ne peut pas être rendu invariant et qu'il est nécessaire de construire un domaine W candidat. Plusieurs techniques peuvent alors être envisagées, en particulier le placement de structure propre et la construction du plus grand domaine (A,B)-invariant contenu dans le domaine des contraintes.
 
 

L'approche par placement de structure propre en commande sous contraintes

Une approche par conditions suffisantes d''invariance positive repose sur le placement de structure propre par retour d'état linéaire stabilisant. Cette méthode a été initialement développée pour des systèmes a états contraints, en temps discret [HB 91] et en temps continu [CH 92], puis généralisée au cas de systèmes à commandes contraintes [HC 93, HC 94].

Des conditions suffisantes d'application de cette méthode ont été répertoriées. En particulier, on choisit de placer les valeurs propres en boucle fermée dans des domaines spectraux bien spécifiées [HL 93]. De plus, dans le cas de contraintes sur l'état, cette méthode s'applique si le nombre de contraintes imposées dans la construction de Wn'excède pas le nombre de conmmandes et si le système n'a pas de zéro de transmission instable.

Dans le cas de contraintes sur la commande, la recherche de l?invariance positive en boucle fermée du domaine de contraintes représenté dans l?espace d?état, conduit à une équation matricielle non-linéaire : avec les matrices H et F inconnues, dont l?ensemble des solutions n?a pas pu, à ce jour, être caractérisé de façon exhaustive. L?approche par placement de structure propre permet toutefois de construire un sous-ensemble de solutions suffisamment riche pour résoudre le problème dans tous les cas où le nombre de valeurs propres instables en boucle ouverte n?excède pas le nombre de commandes.
 
 

La propriété d?(A,B)-invariance d?ensembles polyédraux fermés

Par définition, un domaine d?états W est (positivement) (A,B)-invariant pour le système (S) si en tout point de W , il existe une commande permettant de maintenir toute trajectoire d?état de (S) dans W. Il est facile de montrer que dans le cas de domaines d?état bornés, la propriété d'(A,B)-invariance est plus générale que l?(A+BF)-invariance, car, contrairement au cas des sous-espaces vectoriels, l'(A,B)-invariance ne peut pas toujours être obtenue par un retour d?état linéaire.

Il a été montré dans [DH 96] que l?ensemble des domaines (A,B)-invariants contenus dans un ensemble convexe K est fermé pour l?opération " enveloppe convexe de l?union ". De cette propriété découle l?existence d?un domaine suprémal (A,B)-invariant inclus dans tout ensemble convexe K. Le choix de ce domaine comme ensemble invariant en boucle fermée réalise donc le schéma de commande le moins conservatif possible, puisqu?il autorise le plus grand domaine d?états initiaux à partir desquels il est possible de garantir l?admissibilité de la trajectoire vis à vis du domaine de contraintes K.

Le problème de construction du plus grand ensemble (A,B)-invariant inclus dans un polyèdre donné a été étudié par plusieurs auteurs, en particulier E.G.Gilbert aux Etats-Unis, E. de Santis en Italie. Ces travaux ont pu être enrichis sur les plans théorique et numérique par les conditions analytiques d'(A,B)-invariance d'ensemble polyédraux, établies par C.E.T. Dórea et moi-même, tant en temps continu [DH 99] qu'en temps discret [DH 96]. Ces conditions ont été obtenues, dans le cas discret, par représentation dans l?espace d?état du domaine antécédent de W, et par caractérisation analytique de la condition d?inclusion de polyèdres : .

Dans la caractérisation analytique de la propriété d?(A,B)-invariance de polyèdres, la commande est implicite et ne peut pas être aisément explicitée. A ce jour, la loi de commande la plus générale permettant de rendre positivement un polyèdre (A,B)-invariant fermé borné quelconque est linéaire par morceaux et nécessite le calcul de tous les sommets du polytope. Elle est due à P.O.Gutman, M.Cwikel 1986, et a été généralisée par F.Blanchini 1994 au cas de systèmes à incertitudes polytopiques. Cette loi de commande a aussi été étendue dans [DH97] à des polyèdres non bornés. En outre, nous avons proposé des conditions suffisantes d?existence d?une loi de commande affine en x assurant l?invariance positive d?un polyèdre (A,B)-invariant.[DH99].
 
 

La D-(A,B)-invariance et le problème d?atténuation de perturbations persistantes

L'(A,B)-invariance d'un domaine fermé et borné de l'espace d'état contenant l?état 0 en son intérieur est une condition suffisante de stabilisabilité du système. Si de plus la contractivité du domaine peut être obtenue, le système est asymptotiquement stabilisable, et la marge de stabilisabilité obtenue permet d'absorber des perturbations additives bornées en norme agissant sur le système. L'ensemble D représentant le domaine des perturbations bornées, la propriété de D-(A,B)-invariance a pu être définie et caractérisée de façon analytique. L'absorption de perturbations additives bornées en norme est précisément l'objectif recherché dans les problèmes de commande robuste H2, H¥ et l1. Si l'on utilise la norme l¥comme mesure de la séquence de perturbations et de la séquence de sorties, le problème posé est celui de l'absorption de perturbations persistantes bornées. Ce problème, connu dans la littérature sous le nom de problème de commande optimale l1, consiste à minimiser le coût l1, c?est à dire l'amplitude du rapport entre les normes l¥ de la sortie mesurée et de l'entrée de perturbations. Le respect d'une contrainte de norme l¥ sur la sortie du système correspond à l'invariance du polyèdre représentant cette contrainte dans l'espace d'état. Le plus petit coût l1 réalisable correspond alors à la plus petite norme l¥ de la sortie pour laquelle le plus grand ensemble D-(A,B)-invariant inclus dans le domaine de contraintes est non vide. L'approche par de D-(A,B)-invariance des problèmes de commande l1 en temps discret et L1 en temps continu a été initialement proposée par J.S. Shamma en 1996. Dans l?article [DH97], nous avons montré qu?une décomposition géométrique permet de traiter le problème général l1 avec contraintes sur l?état et sur la commande, pour des domaines de performance non bornés dans l'espace d'état.

Ce problème nous semble d?un grand intérêt pratique, car il est capable de représenter beaucoup de situations réelles, que les perturbations soient dues à un bruit additif ou à des incertitudes paramétriques. La solution optimale du problème l1 est généralement complexe, puisqu?elle nécessite le calcul d?ensembles D-(A,B)-invariants suprémaux et le calcul de la commande associée au domaine suprémal pour le coût l1 optimal. Mais, en pratique, on peut souvent se contenter de résoudre un problème à coût l1 garanti et même se limiter aux commandes par retour d?état linéaire. C?est le cas, en particulier, pour le problème de planification de production multi-niveaux en boucle fermée avec demandes aléatoires mais bornées et à moyenne stationnaire sur l?horizon considéré. Ce problème a pu être résolu [HB 98] par une loi de commande simple et explicite assurant l?invariance positive avec contractivité d?un domaine contenu dans l?ensemble défini par les contraintes du problème.
 
 

Stabilité et stabilisation de systèmes à retards

Les systèmes dynamiques à retards ayant généralement un espace d'état de dimension infinie, la principale difficulté initiale pour l?application de l?approche par invariance positive est la caractérisation de la propriété d'invariance des trajectoires. Cette difficulté a pu être résolue dans le cas de domaines polyédraux d?évolution de l?état instantané du système, pour des systèmes à retards aux différences [HT 98] et pour des systèmes linéaires différentiels à retards [HT 97]. L?établissement des relations d?invariance positive pour ces systèmes nous a permis ensuite, en particulier, d?établir de nouvelles conditions de stabilité et de stabilisabilité, et de proposer des lois de commandes stabilisantes utilisant non seulement l?état courant du système, mais aussi sa trajectoire passée.

Des conditions d?invariance et de stabilisation ont aussi été proposées pour le cas où l'état instantané du système et le vecteur de commande ont tous deux des influences retardées [Hen98].
 
 

Contrôle par invariance positive de systèmes à événements discrets.

La propriété d?invariance s?applique aussi bien à des domaines discrets qu?à des domaines continus. Mais dans le cas discret, la difficulté réside dans la caractérisation de cette propriété. Dans cette perspective, plusieurs types de modèles ont été étudié : les modèles du type "  supervisory control " [Hen 93], les réseaux de files d?attente [HS 93], [HS 95], les réseaux de Petri [Hen 94]. Cependant, il n?a pas été possible d?obtenir une caractérisation explicite de la propriété d?invariance positive à partir de ces modèles.

Une autre voie a été testée. Elle consiste à considérer une loi de commande discrete comme une approximation d?une loi de commande continue. L?écart entre la loi discrète et la loi continue est ensuite traité comme un bruit additif sur l?évolution du système, et la propriété d?invariance positive en boucle fermée pour le système bruité assure l?invariance positive de l?enveloppe convexe du domaine discret admissible [HDC 99].
 
 

Références (de l'auteur avec ses co-auteurs)

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Une extension du Lemme de Farkas et son application au problème de régulation linéaire sous contraintes, Comptes Rendus de l?Académie des Sciences, t.308, S. I, pp.415-419, 1989.

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