Avant 2016

• Homologie : on sait définir le nombres de trous dans un objet (voxels, maillage)
• Compter les trous : algorithme en \( \mathcal{O}(n^3) \)

Question : comment distinguer les trous d'un objet ?

Où ils sont ? Ils sont tous pareils ?

Après 2016

Érosions + dilatations = filtration

L'homologie persistante définit le début et la fin de chaque trou

• Un trou qui commence durant l'érosion et finit durant la dilatation = un trou de l'objet
• Une paire \( (e_i, l_i) \) pour chaque trou
• \( e_i \) : de combien il faut éroder l'objet pour casser ce trou
  = épaisseur
• \( l_i \) : de combien il faut dilater l'objet pour remplir ce trou
  = largeur

Diagramme d'épaisseur-largeur

Boules d'épaisseur-largeur

Le même calcul permet de définir le « centre » de chaque trou

Limites

• Objet discret (voxels) : ok
• Maillage : en cours, mais ça marche
• Complexité : \( n^{1.5} \) en moyenne
• Robustesse : exceptionnelle