La preuve de la cohérence de l'arithmétique par Gentzen [1] repose sur l'induction transfinie jusqu'à l'ordinal << espilon_0 >>. Après ce travail l'étude des ordinaux a été un principal souci des logiciens. Les ordinaux preuve être représentés par des arbres à branchement infinis, une algèbre initiale pour un certain foncteur, c.-à-d. un type inductive. Le fait que ce branchement soit dénombrable signifie que le type est a la fois coinductif.
Le but ce stage est de se familiariser avec la preuve de Gentzen et ses interprétations plus récentes qui reposent sur la théorie des ordinaux, en lisant par exemple [2]. On donnera importance particulière aux arbre-ordinaux en tant que structure inductive [3] mais aussi coinductive. On étudiera la puissance expressive de systèmes de notations pour les ordinaux.
[1] Gentzen, G. The collected papers of Gerhard Gentzen. Edited by
M. E. Szabo. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics
North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London 1969.
[2] Fairtlough, M. and Wainer, S. S.. Hierarchies of provably
recursive functions. Pages 149--207 of Handbook of proof
theory. Edited by Samuel R. Buss. Studies in Logic and the Foundations
of Mathematics, 137. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1998.
[3] Howard, W. A. A system of abstract constructive ordinals.
J. Symbolic Logic 37 (1972), 355--374.