Algorithmique et algèbre des jeux de parité

Luigi Santocanale

Proposition de stage 2003-2004

Titre du stage:
Algorithmique et algèbre des jeux de parité.
Mots-clés:
Logiques pour la vérification, jeu, treillis, objets infinis.
Encadrant:
Santocanale Luigi et Roberto Amadio (30%, Professeur).
Fonction:
Maître de Conférences à l'Université de Provence.
Laboratoire:
Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Marseille (LIF), Centre de Mathématiques et Informatique, 39, rue Joliot-Curie - F-13453 Marseille Cedex 13
Téléphone:
+33 (0)4 91 11 35 74
Télécopie:
+33 (0)4 72 91 11 36 02
Mél:
Luigi.Santocanale@cmi.univ-mrs.fr.

Objectifs

Les jeux de parité sont l'outil principal pour vérifier si un système de transition est correct par rapport à des spécifications formulées dans des logiques telles que PDL, CTL, et le mu-calcul modal propositionnel. Nous proposons d'étudier les algorithmes existants pour résoudre ces jeux et de chercher des possibles relations entre leur complexité algorithmique et la complexité descriptive de l'algèbre des points fixes.

Description détaillée du travail

Un jeu de parité est joué par deux joueurs sur un graphe de positions et mouvements. Ce graphe peut contenir des cycles et par conséquent les parties d'un jeu de parité peuvent se dérouler jusqu'à l'infini. La condition de parité sert à établir le gagnant dans une partie infinie. On fait correspondre à un tel jeu un système d'équations booléennes; de ce système on peut bien chercher sa plus petite ou sa plus grande solution. On peut aussi chercher la solution mixte (c.-à-d. localement plus grande ou plus petite) qui est spécifiée par la condition de parité. Savoir résoudre le jeu de parité, c.-à-d. répondre à la question si un joueur a une stratégie gagnante à partir d'une position donnée, revient au même que trouver la solution mixte du système. Les systèmes d'équations -- qui sont décrits par des jeux de parité et dont on veut calculer la solution mixte -- servent à calculer si un programme, en tant que système de transition, satisfait des propriétés formalisées dans des logiques comme PDL (Propositional Dynamic Logic), CTL (Computational Tree Logic) et le mu-calcul propositionnel modal. Plus en général, on peut associer à ce jeu un type inductif/coinductif défini par le même système d'équations, les opérations booléennes de conjonction et disjonction étant interprétées comme produits cartésiens et sommes disjointes d'ensembles. Résoudre le jeu revient au même que décider si le type est vide ou non. Des combinaisons de types inductifs et coinductifs sont considerées par exemple dans l'assistant de preuves Coq et dans le langage de programmation fonctionnel Charity. Le problème de résoudre un jeu de parité est donc fort intéressant pour l'informatique. Ce problème a une complexité exponentielle dans la taille de la condition de parité; une question majeure ouverte est si ce problème peut être résolu en temps polynomial par rapport à cette taille. Nous proposons que le stagiaire se familiarise avec les jeux de parité, avec les mathématiques associées, essentiellement la théorie des points fixes des fonctions monotones et les mu-calculs [1] et avec les méthodes connues pour résoudre ce type de jeux [5, 3, 2]. Un système algébrique qu'on peut naturellement associer aux jeux de parité est celui des mu-treillis. Dans le cadre de l'étude de la complexité algorithmique des jeux de parité, un objectif intéressant est d'établir des relations entre la complexité algorithmique des jeux et la complexité descriptive de l'algèbre des mu-treillis. De cette façon on pourra transporter les résultats sur la hiérarchie des points fixes pour les mu-treillis [4] au contexte de la complexité des jeux de parité.

References

[1]
A. Arnold and D. Niwinski. Rudiments of µ-calculus, volume 146 of Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001.
[2]
Marcin Jurdzinski. Deciding the winner in parity games is in UPÇ co- UP. Inform. Process. Lett., 68(3):119--124, 1998.
[3]
Marcin Jurdzinski. Small progress measures for solving parity games. In STACS 2000 (Lille), volume 1770 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 290--301. Springer, Berlin, 2000.
[4]
Luigi Santocanale. The alternation hierarchy for the theory of µ-lattices. Theory Appl. Categ., 9:166--197 (electronic), 2001/02. CT2000 Conference (Como).
[5]
Wolfgang Thomas. Languages, automata, and logic. In Handbook of formal languages, Vol. 3, pages 389--455. Springer, Berlin, 1997.

Commentaires

Aucun pré-requis spécial. Une continuation en thèse est souhaitée.
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