Algorithmique et algèbre des jeux de parité
Luigi Santocanale
Proposition de stage 2003-2004
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Titre du stage:
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Algorithmique et algèbre des jeux de parité.
- Mots-clés:
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Logiques pour la vérification, jeu, treillis, objets infinis.
- Encadrant:
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Santocanale Luigi et Roberto Amadio (30%, Professeur).
- Fonction:
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Maître de Conférences à l'Université de Provence.
- Laboratoire:
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Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Marseille (LIF),
Centre de Mathématiques et
Informatique, 39, rue Joliot-Curie - F-13453 Marseille Cedex 13
- Téléphone:
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+33 (0)4 91 11 35 74
- Télécopie:
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+33 (0)4 72 91 11 36 02
- Mél:
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Luigi.Santocanale@cmi.univ-mrs.fr.
Objectifs
Les jeux de parité sont l'outil principal pour vérifier si un système
de transition est correct par rapport à des spécifications formulées
dans des logiques telles que PDL, CTL, et le mu-calcul modal
propositionnel. Nous proposons d'étudier les algorithmes existants
pour résoudre ces jeux et de chercher des possibles relations entre
leur complexité algorithmique et la complexité descriptive de
l'algèbre des points fixes.
Description détaillée du travail
Un jeu de parité est joué par deux joueurs sur un graphe de positions
et mouvements. Ce graphe peut contenir des cycles et par conséquent
les parties d'un jeu de parité peuvent se dérouler jusqu'à l'infini.
La condition de parité sert à établir le gagnant dans une partie
infinie.
On fait correspondre à un tel jeu un système d'équations booléennes;
de ce système on peut bien chercher sa plus petite ou sa plus grande
solution. On peut aussi chercher la solution mixte (c.-à-d. localement
plus grande ou plus petite) qui est spécifiée par la condition de
parité. Savoir résoudre le jeu de parité, c.-à-d. répondre à la
question si un joueur a une stratégie gagnante à partir d'une position
donnée, revient au même que trouver la solution mixte du système.
Les systèmes d'équations -- qui sont décrits par des jeux de parité et
dont on veut calculer la solution mixte -- servent à calculer si un
programme, en tant que système de transition, satisfait des propriétés
formalisées dans des logiques comme PDL (Propositional Dynamic
Logic), CTL (Computational Tree Logic) et le mu-calcul
propositionnel modal.
Plus en général, on peut associer à ce jeu un type inductif/coinductif
défini par le même système d'équations, les opérations booléennes de
conjonction et disjonction étant interprétées comme produits
cartésiens et sommes disjointes d'ensembles. Résoudre le jeu revient
au même que décider si le type est vide ou non. Des combinaisons
de types inductifs et coinductifs sont considerées par exemple
dans l'assistant de preuves Coq et dans le
langage de programmation fonctionnel Charity.
Le problème de résoudre un jeu de parité est donc fort
intéressant pour l'informatique. Ce problème a une complexité
exponentielle dans la taille de la condition de parité; une question
majeure ouverte est si ce problème peut être résolu en temps
polynomial par rapport à cette taille. Nous proposons que le stagiaire
se familiarise avec les jeux de parité, avec les mathématiques
associées, essentiellement la théorie des points fixes des fonctions
monotones et les mu-calculs [1] et avec les méthodes connues pour
résoudre ce type de jeux [5, 3, 2].
Un système algébrique qu'on peut naturellement associer aux jeux de
parité est celui des mu-treillis. Dans le cadre de l'étude de la
complexité algorithmique des jeux de parité, un objectif intéressant
est d'établir des relations entre la complexité algorithmique des jeux
et la complexité descriptive de l'algèbre des mu-treillis. De
cette façon on pourra transporter les résultats sur la hiérarchie des
points fixes pour les mu-treillis [4] au contexte de
la complexité des jeux de parité.
References
-
[1]
-
A. Arnold and D. Niwinski.
Rudiments of µ-calculus, volume 146 of Studies in
Logic and the Foundations of Mathematics.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001.
- [2]
-
Marcin Jurdzinski.
Deciding the winner in parity games is in UPÇ co-
UP.
Inform. Process. Lett., 68(3):119--124, 1998.
- [3]
-
Marcin Jurdzinski.
Small progress measures for solving parity games.
In STACS 2000 (Lille), volume 1770 of Lecture Notes in
Comput. Sci., pages 290--301. Springer, Berlin, 2000.
- [4]
-
Luigi Santocanale.
The alternation hierarchy for the theory of µ-lattices.
Theory Appl. Categ., 9:166--197 (electronic), 2001/02.
CT2000 Conference (Como).
- [5]
-
Wolfgang Thomas.
Languages, automata, and logic.
In Handbook of formal languages, Vol. 3, pages 389--455.
Springer, Berlin, 1997.
Commentaires
Aucun pré-requis spécial. Une continuation en thèse est souhaitée.
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HEVEA.